学霸的科幻世界

    1983年，mazur和wiles使用深刻的代数几何办法证明了岩泽主猜想。利用科利瓦金的欧拉系的办法，rubin证明了虚二次域上的主猜想，并给出了分圆域主猜想一个新的证明。

    而其他形式的主猜想依旧是数论和算术代数几何研究的热点内容。”

    ……

    “第二个问题，霍普夫（hopf）猜想。”

    “整体微分几何的核心问题之一是研究局部不变量和整体不变量的关系，研究曲率和拓扑的关系。

    我们来考察曲面s，它上面有度量，也就有gauss曲率k，如果曲面是紧致无边的话，gauss曲率k就可以在整个曲面上进行积分。一个曲面不一定只容有一个度量，可以有另外一个度量，换了度量以后，相应的gauss曲率k也就变了，但积分值与曲面的度量无关，而只与曲面的euler不性数x(*5)有关。

    这就是gauss-bon公式所揭示的深刻内涵。

    对高维黎曼流形m，gauss曲率可以推广为截面曲率，它由黎曼曲率张量所决定，被积函数是由曲率张量组成的很复杂的代数式子，称为gauss-bon被积函数，它在整个流形上的积分，应该由这个流形的euler示性数所决定。它的内蕴证明是陈省身得到的，后来就称为gauss_bon-陈公式。

    对紧致无边的偶数维流形m2“，如果它容有非正截面曲率的黎曼度量，那么，它的euler示性数满足

    (-l)nx(m2n)0 (1)(当截面曲率为负时，上式为严格不等式)。

    这就是著名的hopf猜想。

    迄今，hopf猜想仅在一些附加条件下得到验证，如截面曲率夹在两个负常数间有工作：bourguignon-karcherpl，donnelly-xavier以及jost-xin间。

    borel对非紧型秩1对称空间证实了猜想。

    如果，流形具有kshler度量，在负截面曲率情形，猜想已被grov所证实，在非正截面曲率情形则被jost-zuc以及cao-xavier所证实。”

    ……

    “第三个问题，卡普兰斯基第六猜想。”

    “卡普兰斯基第六猜想是卡普兰斯基在1975年提出的关于霍普夫代数的十个猜想之一，也是目前霍普夫代数乃至代数学领域研究的前沿问题之一。霍普夫代数起源于二十世纪四十年代，主要是由霍普夫对lie群的拓扑性质的公理性研究而建立的一种代数系统。

    二十世纪六十年代，hochschild-mostow在研究lie群的应用及后续研究中，发展和丰富了霍普夫的这一代数系统的理论，奠定了霍普夫代数理论的基本框架。

    二十世纪八十年代，随着drinfeld和jimbo等数学家建立的量子群理论的兴起，人们发现量子群是一类特殊的霍普夫代数。量子群理论与众多其他数学领域，如低维拓扑、表示论以及非交换几何以及统计力学精确可解模型理论、二维共形场论、角动量量子理论等有着紧密的联系。

    量子群理论的兴起也促进了霍普夫代数理论的迅猛发展，围绕卡普兰斯基的十个猜想取得了许多精彩的研究成果，导致其中若干猜想的解决或部分解决。

    卡普兰斯基第六猜想设h是代数闭域上的有限维半单霍普夫代数，则h的任一不可约表示的维数整除h的维数.

    这一猜想与有限维半单霍普夫代数的分类紧密相关，吸引了众多代数学家的兴趣。

    zhu在1993年利用特征标理论研究了卡普兰斯基第六和第八猜想，得到了部分结果。

    他证明了：若char4=0，h半单且r(h)在h的对偶代数的中心中，其中r(h)为h的不可约特征标所张成的ji*的子代数，则卡普兰第六猜想成立。

    nichols和richmond在1996年通过分析h的格罗滕迪克群的环结构证明:若h是余半单的且有一个2-维单余模，则h是偶数维的。

    1998年，etingof和geki在研究拟三角半单余半单霍普夫代数的结构和提升问题时证明w:若丑是半单余半单hopf代数，d{h)是h的drinfelddouble，则d(h)的不可约表示的维数整除h的维数。

    由此他们证明：如果h是拟三角的半单余半单霍普夫代数，则h的不可约表示的维数整除的。”




第四百二十三章 庞氏十五问
    接下来的三个多小时时间，庞学林一共抛出了十五个问题。

    这些问题有的此前就已经存在，比如黎曼猜想，岩泽主猜想，霍普夫猜想等等。

    有的则是庞学林通过庞氏几何理论，进一步推导得出的新问题。

    而这些问题，与代数、几何的本质存在着密切的内在联系。

    只要能将这十五个问题完全解决，那么数学家们就可以很明确的表示，他们找到了代数与几何之间的大统一理论。

    当然了，就目前而言，这种理论构建依旧是遥遥无期。

    单单一个黎曼猜想，就如同一座宏伟的喜马拉雅山脉，横亘在全球的数学家面前。

    想要翻过这座山脉，合适的路线，天赋、实力、运气缺一不可。

    更不用说，剩下的十四个数学难题了。

    一直到傍晚时分，庞学林才将这十五个命题一一列举完毕，结束这场对整个数学界产生深远影响的演讲。

    “好了，今天的演讲大概就到这里，非常感谢大家的聆听。稍后，我会将今天的演讲内容上传到arxiv.预印本网站，供大家下载，谢谢大家。”

    庞学林环顾四周，微笑说道。

    很快，大会组委会主席马塞洛西维纳与国际数学联合会主席卡洛斯肯尼相继起身鼓掌，紧接着，坐在他们身旁的法尔廷斯，皮埃尔德利涅，安德鲁怀尔斯，罗伯特朗兰兹等人也跟着起身鼓掌。

    很快，掌声在整个会议大厅蔓延开来，几乎所有人都站了起来，向台上这位几乎站在当今数学界最巅峰的年轻人表达敬意。

    在会议大厅后方的角落里，艾艾热情的鼓掌，兴奋的双颊晕红。

    “左姐姐，我一定要尽快毕业。”

    “为什么？”

    一旁的左亦秋疑惑道。

    艾艾笑着说道：“毕业了，我就可以光明正大的追求师傅了。”

    “可是，他已经有女朋友了呀。”

    左亦秋皱了皱眉，说道。

    艾艾笑着说道：“我师傅都已经有两个女朋友了，为什么就不能拥有第三个？”

    左亦秋紧抿红唇，对艾艾的逻辑无力吐槽。

    虽然她很清楚艾艾这种想法不对，但不知为何，她竟然有些羡慕艾艾的敢爱敢恨，劝诫的话更是一句都没有说出口。

    庞学林自然不知道这时候台下这两位妹子的想法，当他走下台的时候，那些数学界的大佬们相继围了上来。将他簇拥在中间。

    “庞教授，今天这场演讲说的好啊，我觉得比解决一两个猜想都要来得重要，数学界需要这种振聋发聩的声音。”

    “以前我一直对于数学今后的发展方向有些迷茫，心中虽然有类似的概念，但却很难清晰的表达出来，今天庞教授的这场演讲，算是把我心中一直想说，却又说不出来的话，给全部阐述了一遍。”

    “庞，如果不是年纪大了，精力有些跟不上，我都有种到你名下重读研究生的冲动。”

    “庞教授，我是圣彼得堡大学校长古斯塔沃安德列夫，不知您近期有没有空，能否来圣彼得堡大学进行一次演讲呢？”

    ……

    好不容易应付完众多热情的数学家们，庞学林这才在卡洛斯肯尼和马塞洛西维纳的陪同下，前往宴会厅。

    今天晚上，国际数学家大会组委会与圣彼得堡市政府将会举行一场盛大的晚宴，用来招待这些远道而来的客人。

    庞学林自然成了宴会中的焦点。

    认识的不认识的，都会找上门来和他聊上几句。

    等到一切结束，已经将近晚上九点。

    这时，庞学林便看到陶哲轩和舒尔茨两人，端着香槟联袂走了过来。

    “恭喜你，庞，今天这场报告会，是我听过的最棒的一场报告会。”

    彼得·舒尔茨道。

    “谢谢。”

    庞学林分别和陶哲轩以及彼得·舒尔茨碰了碰杯。

    这时，彼得·舒尔茨说道：“庞，有件事我想麻烦你一下。”

    “什么事，尽管说。”

    舒尔茨沉吟了片刻，说道：“我准备前往江大做一年的访问学者，参加庞氏几何研讨班。”

    庞学林微微一愣，脸上的表情倒没有显得有多惊讶。

    今天的晚宴，已经有不止一个数学家向庞学林提出类似的要求。

    其中就有类似马丁·海尔、阿克萨依·文卡特什这样的菲尔兹奖得主，再多一个彼得·舒尔茨，也并不令他意外。

    庞学林将目光转向彼得·舒尔茨身旁的陶哲轩道：“老师，你呢？”

    陶哲轩微笑道：“我也是一样的想法，今天这场报告会，让我改变了此前定下的研究计划，我需要对庞氏几何理论有一个更加深入的研究，去江大的庞氏几何研讨班无疑是最佳选择。”

    庞学林笑了起来，说道：“没问题，你们愿意来，我高兴还来不及呢。”

    这些可都是当前数学界的中坚力量，来江大以后，庞学林正好可以把他们拉到江城高等研究院来做理论研究。

    有了这么一批顶级数学家坐镇，就算他们自己不出手，只带带学生，都将为钱塘实验室的发展提供强有力的支持。

    舒尔茨和陶哲轩又和庞学林聊了一会儿，这时，艾艾与左亦秋也端着香槟走了过来。

    陶哲轩拍了拍庞学林的肩膀，嘿嘿笑道：“庞，我就不打搅你和姑娘们聊天了。”

    庞学林有些尴尬地笑了笑，没再多说。

    “师父，恭喜你，来，我敬师父一杯。”

    艾艾今晚显然喝了不少酒，脸蛋泛起一丝红晕，走路的时候有些发票。

    庞学林跟艾艾碰了碰杯，笑道：“少喝点，我看你有点醉了。另外，后天就轮到你作报告了，你准备地怎么样了？”

    艾艾一口将杯子里的香槟全部闷下，说道：“放心吧，师父，我早就准备好了，保证不会让你丢面子。”

    庞学林笑了笑，对一旁的左亦秋道：“我看这丫头有点醉了，你送她回去休息吧。”

    左亦秋点了点头，正要说话，便听艾艾道：“师父，我……我没醉……”

    说着，她身子一歪，竟然直直地朝庞学林倒了过去。

    庞学林连忙将她扶住，有些哭笑不得道：“还说没醉。”

    左亦秋连忙走到另一边，帮着庞学林将艾艾扶住。

    即便如此，艾艾身体有一大半重量软软地靠在庞学林身上。

    庞学林有些无奈，只好和左亦秋一同扶着艾艾返回酒店房间。

    好不容易将艾艾放在床上，庞学林这才松了口气，对左亦秋道：“小左，今天就辛苦你照顾一下艾艾吧。”

    左亦秋点了点头，说道：“庞教授，你赶紧回去休息吧。”

    “嗯！”

    庞学林正要转身离去，便看到艾艾翻了个身，嘴里嘟囔着：“师父，我喜欢你……”

    “……”

    房间内的空气忽然安静了下来。

    庞学林面色古怪，看着左亦秋道：“这丫头到底喝了多少酒啊，怎么说起胡话来了？”

    左亦秋呵呵笑了两声，横了庞学林一眼，没有接话。

    庞学林眨了眨眼，说道：“谢谢你的套娃。”

    说完，不等左亦秋有所反应，直接离开了房间。

    左亦秋轻啐了一口，上去将房间门关上，随后，她一转身，顿时吓了一跳，只见不知何时，艾艾已经坐了起来，愣愣的看着自己。

    “艾艾，你……你没醉？”

    “嘻嘻，师傅身上的味道挺好闻的。”

    艾艾脸上露出甜美的笑容，随即，她的眼睛微微眯起，看着左亦秋道：“左姐姐，刚刚师父说谢谢你的套娃，他那个套娃是你送的？”

    “你……你胡说什么呢？我干嘛要送他套娃啊。”

    “因为你喜欢我师父呀！”

    “艾艾，你胡说八道什么呢？我……我……”

    艾艾上前将左亦秋拉到自己身边坐下，笑嘻嘻道：“左姐姐，喜欢我师父又没什么大不了的，以我师父的能耐，和他相处时间长了，喜欢上他不是很正常吗？”

    “可是……我……”

    “好了，别可是了，左姐姐，你想和我师父在一起吗？”

    房间内很快变得安静下来。

    许久之后，响起了两女窃窃私语的声音。

    ……

    接下来的一周，庞学林一直待在圣彼得堡，继续参加国际数学家大会。

    他在大会首日报告会上的那篇演讲，传出去之后，虽然传统媒体上并没有进行大张旗鼓的报道，但是在数学界，却引发了剧烈的震动。

    几乎所有数学家都予以了庞学林这篇演讲极高的评价，甚至将其提升到了与1900年大卫·希尔伯特二十三问同等的高度。

    这十五个问题，也被称之为庞氏十五问。